ポワズイユ流の定常解


poiseuille

このように、長さ\(l\)、幅\(d\)の二次元平板間に圧力差\(\Delta p := p_{\rm in} – p_{\rm out}\)があるポワズイユ流の定常解を求めてみよう。
まず、ナビエ・ストークス方程式は非圧縮であるとき、速度\(\boldsymbol{v}\)は密度\(\rho\)、圧力\(p\)、粘性\(\mu\)、体積力\(\boldsymbol{K}\)を用いて
$$\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} =-\frac{1}{\rho} \nabla p + \frac{\mu}{\rho}\nabla^2 \boldsymbol{v} + \boldsymbol{K}$$
で表される。今回、\(\nabla p = -\frac{\Delta p}{l}\)として\(x\)成分を書き下すと、
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\Delta p}{\rho l} + \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$
となる。ただし速度の成分は\(\boldsymbol{v}(u,v)\)とした。

定常解を求めるためには、まず左辺を\(0\)として考えればよく、
$$\frac{d^2 u}{d y^2} =-\frac{\Delta p}{\mu l}$$
と簡単な全微分で表せる。よって、積分して境界条件を考慮すれば、
$$u(y)=-\frac{\Delta p}{2\mu l}y(y-d)$$
となることがわかり、二次関数的な速度分布であるといえる。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)